Nombre D'Or

Nombre d'Or appelée aussi "divine proportion", est une proportion, définie initialement en géométrie: d'une valeur de 1.61803398875

 

Le découpage d'un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en

« extrême et moyenne raison ». Le nombre d'or est maintenant souvent désigné par la lettre φ (phi), et il est lié à l'angle d'or.

  • Son utilité

Il intervient dans la construction du pentagone régulier. Ses propriétés algébriques le lient à la suite de Fibonacci et au corps quadratique ℚ(√5). Le nombre d'or s'observe aussi dans la nature (quelques phyllotaxies, par exemple chez les capitules du tournesol, pavage de Penrose de quasi-cristaux) ou dans quelques œuvres et monuments (architecture de Le Corbusier, musique de Xenakis, peinture de Dalí). Le cinéma américain utilise soit le nombre d'Or dans ses images ou comme Kubrick le centre devient le point de construction des images. Cette proportion est inscrite en nous  car elle nous entoure.

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  • Un peu d'Histoire

L'histoire de cette proportion commence à une période de l'Antiquité qui n'est pas connue avec certitude ; la première mention connue de la division en extrême et moyenne raison apparaît dans les Éléments d'Euclide. À la Renaissance, Luca Pacioli, un moine franciscain italien, la met à l'honneur dans un manuel de mathématiques et la surnomme « divine proportion » en l'associant à un idéal envoyé du ciel. Cette vision se développe et s'enrichit d'une dimension esthétique, principalement au cours des XIXe et XXe siècles où naissent les termes de « section dorée » et de « nombre d'or ».

Il est érigé en théorie esthétique et justifié par des arguments d'ordre mystique, comme une clé importante, voire explicative, dans la compréhension des structures du monde physique, particulièrement pour les critères de beauté et surtout d'harmonie ; sa présence est alors revendiquée dans les sciences de la nature et de la vie, proportions du corps humain ou dans les arts comme la peinture, l'architecture ou la musique. Certains artistes, tels le compositeur Xenakis ou le poète Paul Valéry ont adhéré à une partie de cette vision, soutenue par des livres populaires. À travers la médecine, l'archéologie ou les sciences de la nature et de la vie, la science infirme les théories de cette nature car elles sont fondées sur des généralisations abusives et des hypothèses inexactes.

Certains historiens considèrent que l'histoire du nombre d'or commence lorsque cette valeur fit l'objet d'une étude spécifique. Pour d'autres, la détermination d'une figure géométrique contenant au moins une proportion se calculant à l'aide du nombre d'or suffit. La pyramide de Khéops (vers 2600 av. J.-C.) devient, selon cette dernière convention, un bon candidat pour l'origine

Les pythagoriciens connaissaient déjà une construction du pentagone à l'aide de triangles isocèles. À cette époque, l'étude du nombre d'or est essentiellement géométrique, Hypsiclès, un mathématicien grec du 2e siècle av. J.-C., en fait usage pour la mesure de polyèdres réguliers. Elle revient chaque fois qu'un pentagone est présent.

Leonardo Pisano, plus connu sous le nom de Fibonacci, établit la relation entre des équations du second degré et le nombre d'or.

  • Autour de nous

Dans le monde végétal, les écailles des pommes de pin engendrent des spirales particulières, dites logarithmiques. Ces spirales se construisent à l'aide d'un nombre réel non nul quelconque. Si ce nombre est égal au nombre d'or, les proportions correspondent à la moyenne et extrême proportion d'Euclide et la suite de Fibonacci apparaît. Ce phénomène se produit sur les étamines d'une fleur de tournesol. La présence du nombre d'or n'est pas controversée dans ce cas

Une organisation autour d'un schéma pentagonal des atomes d'un cristal de quartz explique l'usage du nombre d'or pour l'étude d'un tel minéral.

  • La Naissance de Venus

Un exemple est celui de La Naissance de Vénus de Sandro Botticelli. Ses dimensions, 172,5 × 278,5 cm, respectent précisément la proportion. Le carré, associé au rectangle d'or, correspond à un rythme du tableau, il est visualisé par le bord de gauche et la ligne noire . Les nombres d'Or se situent aux croisements des lignes rouges. Le nombril symbole de naissance est sur une ligne au Nombre d'or. Botticelli joue aussi avec les médianes.

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  • Le cas  Leonardo da Vinci .

Vinci connaît suffisamment les théories  de Pacioli pour illustrer son livre. À travers ses codex, son Traité de la peinture et les multiples analyses de ses sources, la pensée de Vinci sur la proportion en peinture nous est connue. Si, pour le maître, la peinture s'apparente à une science, ses thèses sont forts éloignées de celle de son ami. Cette attitude se traduit, par exemple pour le choix des proportions humaines. À travers de multiples dissections, il mesure systématiquement les rapports entre les dimensions des différents os et muscles. Ses planches médicales l'amènent à une conception de l'anatomie dont les rapports sont de même nature que celle de la médecine moderne : ils sont fort nombreux et s'expriment à l'aide de fractions composées de petits facteurs entiers. La science de Vinci s'applique aussi sur des sujets déjà traités comme la perspective. Voir la page du carnet de Leonard ci dessous.

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  • Les peintres de la section d'Or

Le nombre d'or a aussi influencé les peintres du groupe de Puteaux, appelé aussi « Section d'or », groupe qui se crée autour de Jacques Villon en 1911. Leur emploi du nombre d'or en peinture est cependant davantage intuitif que purement mathématique.

  • Architecture

Le théâtre d'Épidaure contient deux séries de gradins, l'une de 21, l'autre de 34, deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci dont le rapport est proche du nombre d'or.

La grande pyramide de Gizeh est un exemple depuis le milieu du XIXe siècle. La coïncidence entre les dimensions de la pyramide et le nombre d'or est excellente. Le rapport entre la longueur de la plus grande pente d'une des faces et la demi-longueur d'un côté correspond au nombre d'or avec une précision de moins de 1%.

À partir des années 1950, Le Corbusier utilise systématiquement le modulor pour concevoir son œuvre architecturale. La Cité radieuse de Marseille ou la Chapelle Notre-Dame-du-Haut de Ronchamp sont deux exemples célèbres. Il théorise l'usage du nombre d'or dans son métier. S'il reprend l'idée de Vitruve, consistant à proportionner un bâtiment aux dimensions d'un corps humain, il y associe d'autres éléments justifiant l'usage de la proportion d'Euclide.

  • Dali

Le peintre Salvador Dalí fait référence au nombre d'or et à sa mythologie dans sa peinture, par exemple dans un tableau dénommé Le Sacrement de la dernière Cène.

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Homothetie

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Une homothétie est une transformation géométrique par agrandissement ou réduction donc une reproduction avec changement d'échelle.

 Elle se caractérise par son centre, point invariant, et un rapport qui est un nombre réel.

Le terme d'homothétie, dû au mathématicien français Michel Chasles, est composé de deux éléments d'origine grecque :

  • le préfixe homo  « semblable »

  •  et thetie « position ».

Il traduit la correspondance entre deux figures de même forme et de même orientation.

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 Je vous propose pour agrandir un document de mettre en pratique l'homothétie:

1. Mettre le document , ici en bleu à l'angle du support

2. Tracer une diagonale sur le document qui se prolonge  sur le support

3.  Supprimer la partie en trop

4. Il suffit ensuite de quadriller par les médianes le  document de base  et  aussi  le support. Ensuite, il suffit de  transposer  la case A dans la Case A' , la case B dans la B', etc. ; Cela simplifie le report du document sur le support de destination.

 

 A vos crayons!

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Première étape quand on peint : le choix du format de la toile ou du papier .

Ce choix va déterminer en partie la composition.

En effet, un format carré ou très allongé obligent à des choix très différents.

Types de formats:

Les formats proportionnels sont basés sur des rapports mathématiques groupés en 3 sections : Figure, Paysage et Marine. Ils ont la particularité d’avoir une progression régulière de leur dimension, cela facilité l’agrandissement du sujet par exemple. Les formats Marine ayant une dimension plus allongée que les deux autres, et le format Figure se rapproche le plus du carré.

  • Le format Paysage est construit sur le principe de la “Porte d’Harmonie” : le rapport de la longueur à la largeur est de 1,5

  • Le format Marine est construit selon le nombre d’Or (=1,61)

  • Le format Figure est un double rectangle d’Or.

 

Ces règles mathématiques sont propres à la composition dans la peinture traditionnelle occidentale. Par exemple, un format 35 x 27cm est un 5F, le 100 x 73cm est un 40P.

 

Format américain: Après la Seconde Guerre mondiale, les peintres américains se sont affranchis des formats européens, privilégiant des châssis et des formats en rapport avec la taille physique du peintre et en particulier l'écartement des bras.

Les formats dits « américains » sont du type : 200 × 160, 240 × 200, etc.

 

On trouve les formats suivant en Belgique, en Allemagne et en Italie : 40 × 30 , 50 × 40 , 60 × 40, 90 × 60, 90 × 70, 100 × 70 , 100 × 80, 100 × 90, 120 × 100, 150 × 100, 150 × 120

Ainsi que les formats que j'appelle japonais qui sont ceux où la longueur fait 2 fois la largeur.

 

Ceci étant  expliqué ensuite vient la composition sur la toile.

Comment composer un toile? 

Figuratif:

Quand on travaille une toile figurative le choix se fait souvent au nombre d'Or ( voir l 'explication plus haut), ou c'est plus rare en centrant la composition. Les formes simples comme les triangles, carrés, ronds sans oublier la ligne sont des aides précieuses et symboliques qui participent aussi à un composition réussie.

N'hésitez pas à ligne le ligne de Kandinsky , que l'on trouve encore en librairie.

En Figuratif, je vous conseille si vous faites un paysage ,  par exemple que vous regarder , de mettre un arbre au nombre d'Or en verticale ou le sujet que vous jugez important. Si c'est une composition d'objets mettez l'un d'entre eux au nombre d'Or dans votre format, les autres venant à la suite aux aussi placés au nombre d'Or, soit par rapport au format, soit par rapport au 1er objet posé.

 

Abstrait:

Composer un tableau abstrait reste plus complexe qu'un tableau  figuratif. Il y est nécessaire de chercher au fond de son être pour finaliser l'œuvre.  Qu'il soit avec des formes géométriques ou non, c'est un véritable dialogue entre soi et  la toile qui entraîne questions et réponses.

Pour vous aidez à composer, il y a plusieurs possibilités.

Il faut un point de départ : Cela peut être une idée symbolique, un sentiment, un geste , des formes , une vision figurative détournée... mais toujours la composition est liée à la discussion avec l'œuvre.  

 

 Des jeux pour débuter:

  • Avec des encres de couleurs , ou de l'acrylique très liquide  : mettez des couleurs avec beaucoup d'eau et faites glisser les couleurs l'une dans l'autre en bougeant la toile dans tous les sens.

  • Avec une grille aux nombre d'Or, une fois cette grille en place, choisissez des points de jonction sur la grille et reliez les. Vous obtiendrez un fil ou plusieurs qui sera le point de départ.

  • Avec des formes géométriques: Choisissez , par exemple, des ronds de tailles différentes et des carrés découpés. Placez les en fonction de votre humeur du jour. Puis, recopiez la composition obtenue et commencez à peindre.  

  • Avec une photo mise la tête en bas: Une fois la photo choisi tête en bas, prenez un calque et chercher des formes

 

Une fois ces mises en places effectuées , le jeu de dialogue commence. Et de nouveau le nombre d'Or entre en compte. C'est une aide précieuse mais cela ne doit pas devenir une obsession.

Voici quelques exemples de compositions:

Chez Chardin son travail est à la fois sur les moitiés et sur le nombre d'or. La cuiller dans le bol est au 1/4 ( moitié de la moitié) tout autant qu'au nombre d'or du bol lui même.

Guernica a la lumière en plein milieu bien sûr puisque symboliquement elle représente un peu d'espoir dans l'horreur de la guerre er de ce massacre.

Le Triangle est souvent dans les peinture classique symbole de la trinité religieuse, chez Kandinsky il est la spiritualité. Il donc utilisé souvent pour un personnage ou un groupe de personnage. De Vinci a construit son Jesus dans la Cène ainsi.

 

 

Les couleurs:

Elles entrent aussi en compte pour la composition. Evitez d'en choisir trop à la fois. Privilégiez une gamme en y adjoignant une complémentaire.

Le blanc n'est pas un couleur.

Le noir ,en peinture, peut être considéré comme un bleu foncé , sachant que mélangé avec du jaune , on obtient du vert kaki. 

Les couleurs sont symboliques, ici aussi lire Kandinsky mais aussi Michel Pastoureau . N'hésitez pas mettre votre propre symbolique . Le Blanc symbole de pureté , utilisé pour les robes de mariage en Occident et symbole de mort en Orient . 

Composition

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