Nombre D'Or

Nombre d'Or appelée aussi "divine proportion", est une proportion, définie initialement en géométrie: d'une valeur de 1.61803398875

 

Le découpage d'un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en

« extrême et moyenne raison ». Le nombre d'or est maintenant souvent désigné par la lettre φ (phi), et il est lié à l'angle d'or.

  • Son utilité

Il intervient dans la construction du pentagone régulier. Ses propriétés algébriques le lient à la suite de Fibonacci et au corps quadratique ℚ(√5). Le nombre d'or s'observe aussi dans la nature (quelques phyllotaxies, par exemple chez les capitules du tournesol, pavage de Penrose de quasi-cristaux) ou dans quelques œuvres et monuments (architecture de Le Corbusier, musique de Xenakis, peinture de Dalí). Le cinéma américain utilise soit le nombre d'Or dans ses images ou comme Kubrick le centre devient le point de construction des images. Cette proportion est inscrite en nous  car elle nous entoure.

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  • Un peu d'Histoire

L'histoire de cette proportion commence à une période de l'Antiquité qui n'est pas connue avec certitude ; la première mention connue de la division en extrême et moyenne raison apparaît dans les Éléments d'Euclide. À la Renaissance, Luca Pacioli, un moine franciscain italien, la met à l'honneur dans un manuel de mathématiques et la surnomme « divine proportion » en l'associant à un idéal envoyé du ciel. Cette vision se développe et s'enrichit d'une dimension esthétique, principalement au cours des XIXe et XXe siècles où naissent les termes de « section dorée » et de « nombre d'or ».

Il est érigé en théorie esthétique et justifié par des arguments d'ordre mystique, comme une clé importante, voire explicative, dans la compréhension des structures du monde physique, particulièrement pour les critères de beauté et surtout d'harmonie ; sa présence est alors revendiquée dans les sciences de la nature et de la vie, proportions du corps humain ou dans les arts comme la peinture, l'architecture ou la musique. Certains artistes, tels le compositeur Xenakis ou le poète Paul Valéry ont adhéré à une partie de cette vision, soutenue par des livres populaires. À travers la médecine, l'archéologie ou les sciences de la nature et de la vie, la science infirme les théories de cette nature car elles sont fondées sur des généralisations abusives et des hypothèses inexactes.

Certains historiens considèrent que l'histoire du nombre d'or commence lorsque cette valeur fit l'objet d'une étude spécifique. Pour d'autres, la détermination d'une figure géométrique contenant au moins une proportion se calculant à l'aide du nombre d'or suffit. La pyramide de Khéops (vers 2600 av. J.-C.) devient, selon cette dernière convention, un bon candidat pour l'origine

Les pythagoriciens connaissaient déjà une construction du pentagone à l'aide de triangles isocèles. À cette époque, l'étude du nombre d'or est essentiellement géométrique, Hypsiclès, un mathématicien grec du 2e siècle av. J.-C., en fait usage pour la mesure de polyèdres réguliers. Elle revient chaque fois qu'un pentagone est présent.

Leonardo Pisano, plus connu sous le nom de Fibonacci, établit la relation entre des équations du second degré et le nombre d'or.

  • Autour de nous

Dans le monde végétal, les écailles des pommes de pin engendrent des spirales particulières, dites logarithmiques. Ces spirales se construisent à l'aide d'un nombre réel non nul quelconque. Si ce nombre est égal au nombre d'or, les proportions correspondent à la moyenne et extrême proportion d'Euclide et la suite de Fibonacci apparaît. Ce phénomène se produit sur les étamines d'une fleur de tournesol. La présence du nombre d'or n'est pas controversée dans ce cas

Une organisation autour d'un schéma pentagonal des atomes d'un cristal de quartz explique l'usage du nombre d'or pour l'étude d'un tel minéral.

  • La Naissance de Venus

Un exemple est celui de La Naissance de Vénus de Sandro Botticelli. Ses dimensions, 172,5 × 278,5 cm, respectent précisément la proportion. Le carré, associé au rectangle d'or, correspond à un rythme du tableau, il est visualisé par le bord de gauche et la ligne noire . Les nombres d'Or se situent aux croisements des lignes rouges. Le nombril symbole de naissance est sur une ligne au Nombre d'or. Botticelli joue aussi avec les médianes.

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  • Le cas  Leonardo da Vinci .

Vinci connaît suffisamment les théories  de Pacioli pour illustrer son livre. À travers ses codex, son Traité de la peinture et les multiples analyses de ses sources, la pensée de Vinci sur la proportion en peinture nous est connue. Si, pour le maître, la peinture s'apparente à une science, ses thèses sont forts éloignées de celle de son ami. Cette attitude se traduit, par exemple pour le choix des proportions humaines. À travers de multiples dissections, il mesure systématiquement les rapports entre les dimensions des différents os et muscles. Ses planches médicales l'amènent à une conception de l'anatomie dont les rapports sont de même nature que celle de la médecine moderne : ils sont fort nombreux et s'expriment à l'aide de fractions composées de petits facteurs entiers. La science de Vinci s'applique aussi sur des sujets déjà traités comme la perspective. Voir la page du carnet de Leonard ci dessous.

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  • Les peintres de la section d'Or

Le nombre d'or a aussi influencé les peintres du groupe de Puteaux, appelé aussi « Section d'or », groupe qui se crée autour de Jacques Villon en 1911. Leur emploi du nombre d'or en peinture est cependant davantage intuitif que purement mathématique.

  • Architecture

Le théâtre d'Épidaure contient deux séries de gradins, l'une de 21, l'autre de 34, deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci dont le rapport est proche du nombre d'or.

La grande pyramide de Gizeh est un exemple depuis le milieu du XIXe siècle. La coïncidence entre les dimensions de la pyramide et le nombre d'or est excellente. Le rapport entre la longueur de la plus grande pente d'une des faces et la demi-longueur d'un côté correspond au nombre d'or avec une précision de moins de 1%.

À partir des années 1950, Le Corbusier utilise systématiquement le modulor pour concevoir son œuvre architecturale. La Cité radieuse de Marseille ou la Chapelle Notre-Dame-du-Haut de Ronchamp sont deux exemples célèbres. Il théorise l'usage du nombre d'or dans son métier. S'il reprend l'idée de Vitruve, consistant à proportionner un bâtiment aux dimensions d'un corps humain, il y associe d'autres éléments justifiant l'usage de la proportion d'Euclide.

  • Dali

Le peintre Salvador Dalí fait référence au nombre d'or et à sa mythologie dans sa peinture, par exemple dans un tableau dénommé Le Sacrement de la dernière Cène.

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Homothetie

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Une homothétie est une transformation géométrique par agrandissement ou réduction donc une reproduction avec changement d'échelle.

 Elle se caractérise par son centre, point invariant, et un rapport qui est un nombre réel.

Le terme d'homothétie, dû au mathématicien français Michel Chasles, est composé de deux éléments d'origine grecque :

  • le préfixe homo  « semblable »

  •  et thetie « position ».

Il traduit la correspondance entre deux figures de même forme et de même orientation.

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 Je vous propose pour agrandir un document de mettre en pratique l'homothétie:

1. Mettre le document , ici en bleu à l'angle du support

2. Tracer une diagonale sur le document qui se prolonge  sur le support

3.  Supprimer la partie en trop

4. Il suffit ensuite de quadriller par les médianes le  document de base  et  aussi  le support. Ensuite, il suffit de  transposer  la case A dans la Case A' , la case B dans la B', etc. ; Cela simplifie le report du document sur le support de destination.

 

 A vos crayons!